Фамилия из запросов посетителей. В имеющихся у нас источниах такая фамилия не рассматривается. Можно предложить следующее объснение. В словаре Даля балабайка - балалайка (юж. зап.). Это слово могло стать прозвищем человека, а затем образовать и фамилию.