Фамилии могла означать 'живущий за гаем'. Гай - географический термин с несколькими значениями: лиственный лес, дубрава, роща, тростниковая пойма, плавни, заливной луг и другие (Мурзаев, Словарь народных географических терминов). Существует множество географических названий с термином гай. Фамилия старая. В 'Ономастиконе' Веселовского есть: Семен, крестьянин, 1500 г., Владимир.