-
один из ведущих разделов современной логики и математики. Сформировался в 19-20 ст. как
реализация идеи о возможности записать все исходные допущения на
языке знаков, аналогичных математическим и тем самым заменить рассуждения вычислениями. Предыстория М.Л. связана с именами Аристотеля, Р. Луллия, Дж. Буля (1815-1864), создавшего ее аппарат; Фреге, развившего логико-математические языки; Дж. Пеано (1858-1932), попытавшегося изложить разделы математики на языке логики. В основании всех исканий лежало
стремление создать специальное счетное устройство (прообраз компьютерных систем) и соответствующий техническим вычислениям язык передачи информации. Второй важной проблемой М.Л. является
выбор исходных понятий и их
обоснование. В конце 19 ст. казалось, что исходным может быть
понятие множества; эта точка зрения была детерминирована эффектом от самого
факта появления теории множеств как новой области математики (Б. Больцано, Г. Кантор).
Рефлексия над феноменом множеств привела к обнаружению парадоксов в теории множеств. (Одним из тех, кто пытался "спасти" математику от этой проблемы был Д. Гильберт). С 20-х 20 в. начинается современный
этап развития М.Л. Он связан с применением точных методов при изучении формальных аксиоматических задач.
Суть их состоит в описании рассматриваемой теории на базе строгого логико-математического языка (
формализация), с последующими процедурами логического
анализа теории, а именно с точки зрения непротиворечивости (например, таких теорий, как элементарная геометрия, арифметика, анализ достаточно надежных оснований) и полноты (
теорема Геделя о неполноте утверждает, что всякая достаточно богатая
теория необходимо содержит утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, не опровергнув самой теории). Критике подверглись некоторые положения, используемые в математике без должного обоснования (
закон исключенного третьего, аксиомы выбора и др.). Построение математики с учетом этих ограничений стало программой
интуиционизма (один из авторов Я. Брадэр),
конструктивизма (А.А. Марков). Основным объектом современной М.Л. являются исчисления. В качестве их компонентов выступают: 1) язык (
формальный); 2) аксиомы; 3) правила
вывода. На их основе стало возможным дать точное
определение доказательства, получить точные утверждения о невозможности доказательства тех или иных предложений теории. Значительным достижением является и математическое определение понятия
алгоритма (эффективной процедуры для решения задач из бесконечного
класса задач). Еще Лейбниц мечтал о нахождении алгоритма для решения всех математических проблем. Разработка теории алгоритма связана с именами К. Геделя, Ж. Эрбрана, С. Кли-ни, А. Тьюринга, А. Черча, А.А. Маркова, А.Н. Колмогорова, П.С. Новикова и др. М.Л. имеет несколько разделов, связанных с изучением понятия доказательства (теория доказательств), моделей (теория моделей - Тарский, А.И. Мальцев). В ней очевидны синтаксический и семантический
аспекты изучения формальных языков. Перспективы развития М.Л. предполагают высокую динамику как количественного, так и качественного роста кибернетических устройств. Другим стимулом являются достижения в разработке проблем обоснования математики (современный
аксиоматический метод). А.И.Лойко
