— доказуемые в логике классичес­кой и некоторых других логических системах утверждения с импли­кацией, плохо согласующиеся с обычным пониманием условной связи («если ..., то ...») и логического следования. П. и. — это пара­доксы в широком смысле, их наличие не свидетельствует о внут­ренней противоречивости соответствующих логических теорий, но указывает на определенное рассогласование последних с привыч­ными, или интуитивными, представлениями о логических связях. Условные высказывания, формулируемые обычно с помощью союза «если, то», играют важную роль и в повседневных, и в научных рассуждениях. Эти высказывания выполняют много разных задач, но типичная их функция, особенно в науке, — обоснование одних утверждений ссылкой на другие. Напр., ковкость железа можно обо­сновать, ссылаясь на то, что оно металл: «Если железо металл, оно является ковким». В классической логике условные высказывания представляются с помощью импликации материальной. Она считается ложной толь­ко в случае, когда ее основание истинно, а следствие ложно. Она истинна, в частности, когда соединяемые ею высказывания являются ложными («Если Земля — куб, то Марс — треугольник») или осно­вание ее ложно, а следствие истинно («Если Юпитер обитаем, он не является обитаемым»). В обычном условном высказывании его части связаны между собой по содержанию. Материальная импликация не предполагает содержательной, смысловой связи соединяемых ею выс­казываний. Если даже они не имеют ничего общего друг с другом, составленная из них импликация может быть истинной («Если у собаки есть хвост, то у тритона четыре ноги»). Особенностями материальной импликации обусловлено то, что ею плохо передается основная функция условной связи — функция обоснования. На это и указывает П. и. Поскольку речь идет о такой довольно неопределенной вещи, как «несогласие с интуицией», круг парадоксов материальной импликации четко не ограничен. Но в него всегда включаются парадокс истинного высказы­вания и парадокс ложного высказывания. Согласно первому истинное высказывание может быть обосно­вано с помощью любого высказывания. Это соответствует закону логики классической, который передается так: истинное высказыва­ние имплицируется каждым высказыванием. Допустимым будет та­кое «обоснование»: «Если Наполеон не был сапожником, то "Гео­метрия" Евклида написана не им». Вряд ли, однако, разумно утвер­ждать, что, поставив перед истинным высказыванием произвольное утверждение, мы обосновали данное высказывание. Если установлено, что какое-то высказывание истинно, то в опре­деленных пределах действительно безразлично, из каких положений оно получено. Но такое допущение классической логики не согласу­ется с представлениями о научной теории. Она является не механи­ческим набором истинных высказываний, а системой, в которой ут­верждения находятся в известных отношениях друг с другом и мо­гут обосновываться путем выведения их из вполне определенных утверждений. Едва ли имеет смысл, напр., заключение, что классичес­кая механика Ньютона обосновывается ссылкой на то, что Север­ный полюс отличается от Южного, а множество арифметических истин — ссылкой на реакции, идущие в недрах Солнца. Согласно парадоксу ложного высказывания (см.: Закон Дунса Скота), ложное высказывание имплицирует любое высказывание. Так, высказывание «Если медь неэлектропроводна, то электрон де­лим до бесконечности» должно рассматриваться как истинное. Данный парадокс является своеобразным предостережением про­тив принятия ложного высказывания. Введение в научную теорию такого высказывания ведет к разрушительным последствиям: в ней становится возможным обосновать все что угодно, и она теряет вся­кий смысл. Это предостережение является, несомненно, важным. Но не очевидно, что оно должно включаться в класс правил логическо­го следования, обоснованность которых зависит только от структуры входящих в них высказываний, но не от того, истинны они или ложны. Таким образом, логика классическая с ее материальной имплика­цией не может быть признана удачным описанием условной связи, а значит, и логического следования. Впервые на парадоксы материальной импликации обратил вни­мание амер. философ и логик К. И. Льюис (1883-1964). Он пред­ложил взамен классической логики новую теорию логического следования, в которой материальная импликация замещалась дру­гой условной связью - строгой импликацией. Это было большим шагом вперед, хотя и оказалось, что строгая импликация тоже не лишена собственных парадоксов. В их числе аналог парадокса истинного высказывания: логически необходимое высказывание вытекает из любого высказывания; и аналог парадокса ложного высказывания: из логически невозможного высказывания вытекает какое угодно высказывание. Более удовлетворительное описание условной связи и логичес­кого следования было дано в 50-е годы В. Аккерманом, А. Андерсо­ном и Н. Белнапом. Им удалось исключить не только парадоксы материальной импликации, но и парадоксы строгой импликации. Введенная ими непарадоксальная импликация получила название релевантной (т. е. уместной), поскольку ею могли связываться только высказывания, имеющие какое-то общее содержание.