Линейная зависимость

Лине́йная зависимость

(матем.)

соотношение вида

C₁₁u₁ + C₂u₂ + ... + C_nu_n = 0, (*)

где С₁, C₂, ..., C_n — числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля, а u₁, u₂, ..., u_n — те или иные матем. объекты, для которых определены операции сложения и умножения на число. В соотношение (*) объекты u₁, u₂, ..., u_n входят в 1-й степени, т. е. линейно; поэтому описываемая этим соотношением зависимость между ними называется линейной. Знак равенства в формуле (*) может иметь различный смысл и в каждом конкретном случае должен быть разъяснён. Понятие Л. з. употребляется во многих разделах математики. Так, можно говорить о Л. з. между векторами, между функциями от одного или нескольких переменных, между элементами линейного пространства и т. д. Если между объектами u₁, u₂, ..., u_n имеется Л. з., то говорят, что эти объекты линейно зависимы; в противном случае их называется линейно независимыми. Если объекты u₁, u₂, ..., u_n линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных, т. е.

u₁ = α ₁u₁ + ... + α _i-1u_i-1 + α _i+1u_i+1 + ... + α _nu_n.

Непрерывные функции от одного переменного

u₁ = φ ₁(х), u₂ = φ ₂(х), ..., u_n = φ _n(x) называются линейно зависимыми, если между ними имеется соотношение вида (*), в котором знак равенства понимается как тождество относительно х. Для того чтобы функции φ ₁(x), φ ₂(x), ..., φ _n(x), заданные на некотором отрезке а ≤ х ≤ b, были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль их определитель Грама

где

i, k = 1,2, ..., n.

Если же функции φ₁ (x), φ₂(x), ..., φ_n(x) являются решениями линейного дифференциального уравнения (См. Линейные дифференциальные уравнения), то для существования Л. з. между ними необходимо и достаточно, чтобы Вронскиан обращался в нуль хотя бы в одной точке.

Линейные формы (См. Линейная форма) от m переменных

u₁ = a_i1x₁ + a_i2x₂ + ... + a_imx_m

(i = 1, 2, ..., n)

называются линейно зависимыми, если существует соотношение вида (*), в котором знак равенства понимается как тождество относительно всех переменных x₁, x₂, ..., x_m. Для того чтобы n линейных форм от n переменных были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль определитель

D=