рукавом тряхнуть (как рукавом тряхнуть)

(иноск.) — сделать легко (живо, зараз)

Ср. Etwas aus den Aermeln schütteln (вытряхнуть из рукавов (быстро сделать)).

Начало этого слова надо искать в представлениях фокусников, у которых быстро появляются разные предметы, спрятанные в рукавах.